이항분포의 포아송분포 근사

샘플의 수가 커질수록 이항분포가 포아송분포로 근사하는 것을 시각화를 통해서 확인해 보자.

일러두기

2005-07-17 네이버 블로그에 게시된 내용을 옮겨 온 글입니다. 지금의 R 환경과 다소 내용이 다를 수 있음을 밝여둡니다.

이항분포의 포아송분포 근사

이항분포 B(n,p)에서 평균인 np값은 고정하고 n값이 충분히 커지면 이 분포는 평균 m이 np인 포아송분포에 근사하게 된다. 이것을 그래프로 그려 포아송분포로 근사하는 것을 추적해 보았다. np=5이고 n=10, 20, 50, 100인 이항분포를 한 좌표에 그려 보았다. 그리고 평균이 5인 포아송 분포도 같이 그려 보았다.

R Script

mean <- 5

par(family = "NanumSquare")
plot(dbinom(0:15, 10, mean / 10), type = "l",
     main = "이항분포의 포아송분포 근사; B(n,p), np=5", 
     xlab = "X", ylab = "Probability")

lines(dbinom(0:15, 20, mean / 20), lty = 2, col = 2)
lines(dbinom(0:15, 50, mean / 50), lty = 3, col = 3)
lines(dbinom(0:15, 100, mean / 100), lty = 4, col = 4)
lines(dpois(0:15, mean), lty = 5, col = 5)

legend(10.5, 0.2, legend = c("Bin(10,0.5)","Bin(20,0.25)","Bin(50,0.1)",
                             "Bin(100,0.05)","Pos(5)"), 
       lty = 1:5, col = 1:5)

round(dpois(0:15, 5) - dbinom(0:15, 10, mean / 10), 5)

 [1]  0.00576  0.02392  0.04028  0.02319 -0.02961 -0.07063 -0.05886
 [8] -0.01274  0.02133  0.02650  0.01716  0.00824  0.00343  0.00132
[15]  0.00047  0.00016

round(dpois(0:15, 5) - dbinom(0:15, 20, mean / 20), 5)

 [1]  0.00357  0.01255  0.01728  0.00648 -0.01422 -0.02686 -0.02239
 [8] -0.00796  0.00439  0.00920  0.00821  0.00524  0.00268  0.00117
[15]  0.00045  0.00015

round(dpois(0:15, 5) - dbinom(0:15, 50, mean / 50), 5)

 [1]  0.00158  0.00506  0.00628  0.00181 -0.00544 -0.00946 -0.00788
 [8] -0.00318  0.00100  0.00294  0.00295  0.00211  0.00122  0.00060
[15]  0.00026  0.00010

round(dpois(0:15, 5) - dbinom(0:15, 100, mean / 100), 5)

 [1]  0.00082  0.00253  0.00304  0.00080 -0.00268 -0.00455 -0.00379
 [8] -0.00158  0.00041  0.00136  0.00142  0.00104  0.00062  0.00032
[15]  0.00014  0.00006